[Share] Công Thức, Ví Dụ Và Bài Tập Triển Khai Hằng Đẳng Thức Bậc 4
Hằng đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản nhưng cũng là quan trọng nhất của chương trình toán học. Ngoài 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đã được đề cập trong những bài trước, Review Điện Thoại đến với hằng đẳng thức bậc 4 một cách cụ thể hơn. Công thức hằng đẳng thức bậc 4. Ví dụ triển hằng đẳng thức bậc 4. Và bài tập về hằng đẳng thức bậc 4
Tìm hiểu >> Công Thức, Bài Tập Về 7 Hẳng Đẳng Thức Đáng Nhớ Và Các Hằng Đẳng Thức Mở Rộng
Hằng đẳng thức bậc 4
Hằng đẳng thức bậc 4 (hay còn được gọi là công thức nhị thức bậc 4) cho biểu thức (a + b)^4 hoặc (a – b)^4, và được viết như sau:
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
hoặc
(a – b)^4 = a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4
Ví dụ triển hằng đẳng thức bậc 4
Ví dụ 1
Khai triển biểu thức (2x – 3y)^4.
Theo hằng đẳng thức bậc 4 ta có: (2x – 3y)^4 = (2x)^4 – 4.(2x)^3.(3y) + 6.(2x)^2.(3y)^2 – 4.(2x).(3y)^3 + (3y)^4
= 16x^4 – 96x^3y + 216x^2y^2 – 216xy^3 + 81y^4
Vậy (2x – 3y)^4 = 16x^4 – 96x^3y + 216x^2y^2 – 216xy^3 + 81y^4.
Ví dụ 2
Khai triển biểu thức (2a – 3b)^4
Theo hằng đẳng thức bậc 4 ta có: (2a – 3b)^4 = (2a)^4 – 4.(2a)^3.(3b) + 6.(2a)^2.(3b)^2 – 4.(2a).(3b)^3 + (3b)^4
= 16a^4 – 96a^3b + 216a^2b^2 – 216ab^3 + 81b^4
Vậy (2a – 3b)^4 = 16a^4 – 96a^3b + 216a^2b^2 – 216ab^3 + 81b^4
Ví dụ 3
Khai triển biểu thức (2x – 1)^4
(2x – 1)^4 = 2^4.x^4 – 4.2^3.x^3.1 + 6.2^2.x^2.1^2 – 4.2.x.1^3 + 1^4
= 16x^4 – 32x^3 + 24x^2 – 8x + 1
Vậy (2x – 1)^4 = 16x^4 – 32x^3 + 24x^2 – 8x + 1
Ví dụ 4
Khai triển biểu thức (x+2)^4.
(x+2)^4 = x^4 + 4x^3.2 + 6x^2.2^2 + 4x.2^3 + 2^4
= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
Vậy (x+2)^4 = x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16
Ví dụ 5
Khai triển biểu thức (2x – 3)^4
(2x – 3)^4 = = (2x)^4 – 4(2x)^3(3) + 6(2x)^2(3)^2 – 4(2x)(3)^3 + (3)^4
= 16x^4 – 96x^3 + 216x^2 – 216x + 81
Vậy (2x – 3)^4 = 16x^4 – 96x^3 + 216x^2 – 216x + 81.
Đừng bỏ lỡ >> Tổng Hợp 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao Lớp 8, Lớp 9
Bài tập hằng đẳng thức bậc 4
Bài tập 1
Chứng minh rằng: (a + b)^4 – (a – b)^4 = 16a^3b + 48a^2b^2 + 16ab^3
Giải
Ta có:
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
(a – b)^4 = a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4
Hiệu của (a + b)^4 – (a – b)^4
(a + b)^4 – (a – b)^4 = (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) – (a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4) = 8a^3b + 8ab^3 + 12a^2b^2 = 8ab(2a^2 + 2b^2 + 3ab) = 16a^3b + 48a^2b^2 + 16ab^3
Vậy ta đã chứng minh được rằng: (a + b)^4 – (a – b)^4 = 16a^3b + 48a^2b^2 + 16ab^3.
Bài tập 2
Tính giá trị của biểu thức: (x + 2)^4 + (x – 2)^4 – 2(x^4 + 16)
Giải:
Ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức bậc 4:
(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Áp dụng vào biểu thức cần tính:
(x + 2)^4 + (x – 2)^4 – 2(x^4 + 16) = 2x^4 + 48 + 12x^2 + 2(x^4 + 16) – 2x^4 – 32 (Áp dụng hằng đẳng thức bậc 4) = 12x^2 + 16
Vậy giá trị của biểu thức là 12x^2 + 16.
Bài tập 3
Chứng minh rằng: (a + b)^4 + (a – b)^4 + 2b^4 = 2(a^4 + 2a^2b^2 + 2b^4)
Giải:
Triển khai vế trái: (a + b)^4 + (a – b)^4 + 2b^4
(a + b)^4 + (a – b)^4 + 2b^4
= [(a + b)^2]^2 + [(a – b)^2]^2 + 2b^4 (vì (a + b)^4 = [(a + b)^2]^2 và (a – b)^4 = [(a – b)^2]^2)
= [(a^2 + 2ab + b^2)^2] + [(a^2 – 2ab + b^2)^2] + 2b^4
= (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) + (a^4 – 4a^3b + 6a^2b^2 – 4ab^3 + b^4) + 2b^4 (sử dụng hằng đẳng thức bậc 4)
= 2a^4 + 12a^2b^2 + 6b^4
Triển khai vế phải: 2(a^4 + 2a^2b^2 + 2b^4)
2(a^4 + 2a^2b^2 + 2b^4) = 2a^4 + 4a^2b^2 + 4b^4
Ta có thể đơn giản hóa phương trình bằng cách loại bỏ các mục tự nhiên bằng nhau ở hai bên phương trình:
8a^2b^2 = 2b^4
Ta chia hai bên cho 2b^2:
4a^2 = b^2
Bằng cách thay b^2 = 4a^2 vào bên trái của phương trình ban đầu, ta có:
2a^4 + 12a^2(4a^2) + 6(4a^2)^2 = 2a^4 + 4a^2(4a^2) + 4(4a^2)^2
Sau khi đơn giản hóa, ta có:
32a^4 = 32a^4
Vậy (a + b)^4 + (a – b)^4 + 2b^4 = 2(a^4 + 2a^2b^2 + 2b^4)
Bài tập 4
Chứng minh rằng (a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Giải:
Triển khai vế trái:
(a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
Ta có: (a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2
=> (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)
= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Vậy (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Xem thêm >> Tổng Hợp Các Công Thức Lượng Giác Lớp 10 Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao
