Tổng Hợp 7 Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ Từ Cơ Bản Đến Nâng Cao Lớp 8, Lớp 9

hằng đẳng thức số 8
Rate this post

Hằng đẳng thức là một trong những kiến thức cơ bản nhất nhưng cũng quan trong nhất đối với học sinh lớp số 8, lớp 9. Cùng Review Điện Thoại ôn lại kiến thức hằng đẳng thức số 8, từ cơ bản đến nâng cao nhé. Giải một số bài tập liên quan đến hằng đẳng thức. 

Share >> Hình Thang Cân Là Gì? Tính Chất Hình Thang Cân Là Gì? Tính Chu Vi Diện Tích Hình Thang Cân

Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 bằng lời

  • Bình phương của một tổng: (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2

Bình phương của một tổng: Khi ta muốn tính bình phương của một tổng, ta lấy bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của cả hai số và cộng với bình phương của số thứ hai.

  • Bình phương của một hiệu: (A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2

Bình phương của một hiệu: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của hai số và cộng với bình phương của số thứ hai.

  • Hiệu hai bình phương: A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)

Hiệu hai bình phương: Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số nhân với tổng của hai số đó.

  • Lập phương của một tổng: (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng tiếp với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.

  • Lập phương của một hiệu: (A – B)^3 = A^3 – 3A^2B + 3AB^2 – B^3

Lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất trừ cho ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất và bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

  • Tổng hai lập phương: A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2)

Khi tính tổng của lập phương của hai số A và B, ta nhân số thứ nhất với lập phương của số đó, nhân số thứ hai với lập phương của số đó, rồi cộng tổng hai kết quả này với tích của hai số A và B.

  • Hiệu hai lập phương: A^3 – B^3 = (A – B)(A^2 + AB + B^2)

Hằng đẳng thức Hiệu hai lập phương là: Khi tính hiệu của lập phương của hai số A và B, ta nhân số thứ nhất với lập phương của số đó, nhân số thứ hai với lập phương của số đó, rồi trừ kết quả của hai số này.

hằng đẳng thức số 8
Công thức 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 bằng lời

Tìm hiểu >> Công Thức Và Bài Tập Tính Diện Tích Tam Giác Đều, Tam Giác Vuông

 Hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 9 nâng cao

  • Hằng đẳng thức mở rộng của bậc hai ( Công thức tính tổng của 3 và 4 biến)

(a + b + c)= a+ b+ c+ 2ab + 2ac + 2bc

(a + b − c)= a+ b+ c+ 2ab − 2ac − 2bc

(a − b − c)= a+ b+ c− 2ab − 2ac + 2bc

  • Hằng đẳng thức mở rộng của bậc ba ( Công thức tính các biến số bậc 3)

a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a+b)

a^3 – b^3 = (a – b)^3 + 3ab(a–b)

(a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(a+c)(b+c)

a^3 + b^3 + c^3 − 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 − ab − bc − ca)

(a – b) ^3 + (b – c)^3 + (c – a)^3 = 3(a – b)(b – c)(c – a)

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2

(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc

(a + b)(b + c)(c + a) – 8abc = a(b – c)^2 + b(c – a)^2 + c(a – b)^2

(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + bc + ca) − abc

hằng đẳng thức số 8
Hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 9 nâng cao

Bài tập về hằng đẳng thức

Bài 1

Chứng minh rằng: (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ca), với mọi số thực a, b, c.

Ta có: (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca

Và: 3(ab+bc+ca) = 3ab + 3bc + 3ca

Suy ra: (a+b+c)^2 – 3(ab+bc+ca) = a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca = 1/2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2] >= 0 Vậy, ta có: (a+b+c)^2 >= 3(ab+bc+ca).

Bài 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x^2 + 4y^2 + 9z^2 – 4xy – 6xz + 12yz, với mọi số thực x, y, z.

Giải:

Ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng tổng bình phương:

(x-2y)^2 + (3z-2x)^2 + (2y-3z)^2

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu là 0, đạt được khi và chỉ khi:

x-2y = 0, 3z-2x = 0 và 2y-3z = 0

Từ đó suy ra x=6y/5 và z=2x/3=4y/5. Thay vào biểu thức ban đầu, ta được giá trị nhỏ nhất là:

(6y/5)^2 + 4y^2 + (4y/5)^2 – 4(6y/5)y – 6(6y/5)(4y/5) + 12y(4y/5) = 27y^2/5

Bài 3

Chứng minh rằng: (a^2 + b^2)/(a+b) >= (a+b)/2, với mọi số thực a, b khác 0.

Ta có:

(a^2 + b^2)/(a+b) – (a+b)/2 = (a^2 – 2ab + b^2)/(2(a+b)) = ((a-b)^2)/(2(a+b))

Vì a, b khác 0 nên a+b khác 0.

Vậy ta có (a^2 + b^2)/(a+b) >= (a+b)/2, với mọi số thực a, b khác 0.

Bài 4

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a^2 + b^2 + c^2 + abc, với mọi số thực a, b, c không âm.

Ta chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Trong đó có 1 số bằng 0. Giá trị lớn nhất sẽ là max{a^2, b^2, c^2}.

Trường hợp 2: Tất cả các số đều khác 0. Áp dụng định lí AM-GM ta được:

a^2 + b^2 + c^2 + abc = a^2 + b^2 + c^2 + 3abc/3 >= 4.(a^2.b^2.c^2)^(1/4)

Với abc khác 0.

Ta có: (a^2.b^2.c^2)^(1/4) <= (a^2 + b^2 + c^2)/3

Do đó, ta được:

a^2 + b^2 + c^2 + abc >= 4.(a^2 + b^2 + c^2)/3 >= 4.(3abc)^(2/3)/3 = 4.(3^(2/3)/3).abc^(2/3)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4.(3^(2/3)/3).abc^(2/3).

Xem thêm >>Trung Bình Cộng Là Gì? Ý Nghĩa Của Số Trung Bình Cộng. Cách Tính Trung Bình Cộng Lớp 5